被害者請求で後遺障害申請する利点は何ですか？

当事務所に限った話ですが、人損であれば、7～8割は示談で解決します。
ただし、事故状況について当事者の言い分が真っ向から対立し、過失割合が争いになる事案などでは、訴訟でないと解決しないこともあります。 また、物損事故のうち、代車費用や休車損、全損や評価損が争いになる事件は、弁護士が裁判例を引用しつつ説得しても、応じない保険会社も多く訴訟になりやすいと言えます。

いいえ。ご自身（又はご家族）の自動車保険から受けることが出来る場合があります。
人身傷害補償特約に加入していれば、加害者が任意保険に加入していない場合であっても、被害者の過失の有無にかかわらず、ご自身側の保険会社から保険金が支払われます。また、後遺障害を認定された事件（あるいは死亡事案）で、加害者が任意保険に加入していない場合や、任意保険に加入していても賠償額に制限があり十分な支払いが受けられない場合には、後遺障害の補償を含めた保険金の支払いをご自身（又はご家族）の自動車保険（無保険者傷害保険）から受けることができます。

治療が長期化（3～6ヶ月以上）したときに、加害者側保険会社が治療の打ち切りを予告してくることがあります。 ケガが完治するまでに必要な期間は医学的な問題なので、弁護士が介入したからといってむやみに延ばせるものではありません。むしろ、適切な時期に治療を切り上げて後遺障害申請を行い、できるだけ高い後遺障害等級を認定させるのが弁護士の役割と言っても言い過ぎではありません。

とはいえ、加害者側の保険会社が病状も考慮せず、ただ「6ヶ月経ったから」とか、「普通このくらいのケガなら治っている」との理由で治療を打ち切られるのは間違っています。弁護士は、保険会社が治療を打ち切る根拠を確認したうえで、不相当だと判断すれば延長させるよう交渉することもあります。